Լուծեք {l}{2x+9y=-1}{5x-3y=-28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = - 1 } \\ { 5 x - 3 y = - 28 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-5$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+9y=-1,5x-3y=-28$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+9y=-1$$

Հանեք 9y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-9y-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -9y-1:

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-9y-1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-3y=-28:

$$5\left(-\frac{9}{2}y-\frac{1}{2}\right)-3y=-28$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-9y-1}{2}:

$$-\frac{45}{2}y-\frac{5}{2}-3y=-28$$

Գումարեք -\frac{45y}{2} -3y-ին:

$$-\frac{51}{2}y-\frac{5}{2}=-28$$

Գումարեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{51}{2}y=-\frac{51}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{51}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{9}{2}y-\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-9-1}{2}$$

Գումարեք -\frac{1}{2} -\frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+9y=-1,5x-3y=-28$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 5}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-3\right)-9\times 5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{51}&-\frac{2}{51}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-28\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-1\right)+\frac{3}{17}\left(-28\right)\\\frac{5}{51}\left(-1\right)-\frac{2}{51}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-5,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+9y=-1,5x-3y=-28$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 9y=5\left(-1\right),2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\left(-28\right)$$

Պարզեցնել:

$$10x+45y=-5,10x-6y=-56$$

Հանեք 10x-6y=-56 10x+45y=-5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+45y+6y=-5+56$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$45y+6y=-5+56$$

Գումարեք 45y 6y-ին:

$$51y=-5+56$$

Գումարեք -5 56-ին:

$$51y=51$$

Բաժանեք երկու կողմերը 51-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 5x-3y=-28-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-3=-28$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$5x=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-5,y=1$$