Լուծեք {l}{2x+7y=19}{5x+3y=-25}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 19 } \\ { 5 x + 3 y = - 25 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-8$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+7y=19,5x+3y=-25$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+7y=19$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-7y+19$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+19\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -7y+19:

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{19}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-7y+19}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=-25:

$$5\left(-\frac{7}{2}y+\frac{19}{2}\right)+3y=-25$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-7y+19}{2}:

$$-\frac{35}{2}y+\frac{95}{2}+3y=-25$$

Գումարեք -\frac{35y}{2} 3y-ին:

$$-\frac{29}{2}y+\frac{95}{2}=-25$$

Հանեք \frac{95}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{145}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{29}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{7}{2}y+\frac{19}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{2}\times 5+\frac{19}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{2} անգամ 5:

$$x=\frac{-35+19}{2}$$

Գումարեք \frac{19}{2} -\frac{35}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-8,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+7y=19,5x+3y=-25$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-7\times 5}&-\frac{7}{2\times 3-7\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-7\times 5}&\frac{2}{2\times 3-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-25\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 19+\frac{7}{29}\left(-25\right)\\\frac{5}{29}\times 19-\frac{2}{29}\left(-25\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-8,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+7y=19,5x+3y=-25$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 7y=5\times 19,2\times 5x+2\times 3y=2\left(-25\right)$$

Պարզեցնել:

$$10x+35y=95,10x+6y=-50$$

Հանեք 10x+6y=-50 10x+35y=95-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+35y-6y=95+50$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$35y-6y=95+50$$

Գումարեք 35y -6y-ին:

$$29y=95+50$$

Գումարեք 95 50-ին:

$$29y=145$$

Բաժանեք երկու կողմերը 29-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 5x+3y=-25-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+3\times 5=-25$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 5:

$$5x+15=-25$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-8,y=5$$