Լուծեք {l}{2x+6y=21}{9x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 21 } \\ { 9 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{41}{20} = 2\frac{1}{20} = 2.05$$

$$y = \frac{169}{60} = 2\frac{49}{60} \approx 2.816666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+6y=21$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-6y+21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+21\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -6y+21:

$$x=-3y+\frac{21}{2}$$

Փոխարինեք -3y+\frac{21}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-3y=10:

$$9\left(-3y+\frac{21}{2}\right)-3y=10$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -3y+\frac{21}{2}:

$$-27y+\frac{189}{2}-3y=10$$

Գումարեք -27y -3y-ին:

$$-30y+\frac{189}{2}=10$$

Հանեք \frac{189}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-30y=-\frac{169}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -30-ի:

$$y=\frac{169}{60}$$

Փոխարինեք \frac{169}{60}-ը y-ով x=-3y+\frac{21}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times \frac{169}{60}+\frac{21}{2}$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{169}{60}:

$$x=-\frac{169}{20}+\frac{21}{2}$$

Գումարեք \frac{21}{2} -\frac{169}{20}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{41}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-6\times 9}&-\frac{6}{2\left(-3\right)-6\times 9}\\-\frac{9}{2\left(-3\right)-6\times 9}&\frac{2}{2\left(-3\right)-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 21+\frac{1}{10}\times 10\\\frac{3}{20}\times 21-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{20}\\\frac{169}{60}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

2x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$9\times 2x+9\times 6y=9\times 21,2\times 9x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

Պարզեցնել:

$$18x+54y=189,18x-6y=20$$

Հանեք 18x-6y=20 18x+54y=189-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-18x+54y+6y=189-20$$

Գումարեք 18x -18x-ին: 18x-ը և -18x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$54y+6y=189-20$$

Գումարեք 54y 6y-ին:

$$60y=189-20$$

Գումարեք 189 -20-ին:

$$60y=169$$

Բաժանեք երկու կողմերը 60-ի:

$$y=\frac{169}{60}$$

Փոխարինեք \frac{169}{60}-ը y-ով 9x-3y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-3\times \frac{169}{60}=10$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{169}{60}:

$$9x-\frac{169}{20}=10$$

Գումարեք \frac{169}{20} հավասարման երկու կողմին:

$$9x=\frac{369}{20}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{41}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$