Լուծեք {l}{2x+6y=11}{5x-7y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 11 } \\ { 5 x - 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{137}{44} = 3\frac{5}{44} \approx 3.113636364$$

$$y=\frac{35}{44}\approx 0.795454545$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+6y=11$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-6y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -6y+11:

$$x=-3y+\frac{11}{2}$$

Փոխարինեք -3y+\frac{11}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-7y=10:

$$5\left(-3y+\frac{11}{2}\right)-7y=10$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -3y+\frac{11}{2}:

$$-15y+\frac{55}{2}-7y=10$$

Գումարեք -15y -7y-ին:

$$-22y+\frac{55}{2}=10$$

Հանեք \frac{55}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-22y=-\frac{35}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=\frac{35}{44}$$

Փոխարինեք \frac{35}{44}-ը y-ով x=-3y+\frac{11}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\times \frac{35}{44}+\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{35}{44}:

$$x=-\frac{105}{44}+\frac{11}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} -\frac{105}{44}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{137}{44}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-6\times 5}&-\frac{6}{2\left(-7\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-6\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}\times 11+\frac{3}{22}\times 10\\\frac{5}{44}\times 11-\frac{1}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{44}\\\frac{35}{44}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 6y=5\times 11,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 10$$

Պարզեցնել:

$$10x+30y=55,10x-14y=20$$

Հանեք 10x-14y=20 10x+30y=55-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+30y+14y=55-20$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$30y+14y=55-20$$

Գումարեք 30y 14y-ին:

$$44y=55-20$$

Գումարեք 55 -20-ին:

$$44y=35$$

Բաժանեք երկու կողմերը 44-ի:

$$y=\frac{35}{44}$$

Փոխարինեք \frac{35}{44}-ը y-ով 5x-7y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-7\times \frac{35}{44}=10$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{35}{44}:

$$5x-\frac{245}{44}=10$$

Գումարեք \frac{245}{44} հավասարման երկու կողմին:

$$5x=\frac{685}{44}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{137}{44}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$