Լուծեք {l}{2x+5y=6}{3x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 6 } \\ { 3 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

$$y=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=6,3x+4y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=6$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y+6:

$$x=-\frac{5}{2}y+3$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+4y=8:

$$3\left(-\frac{5}{2}y+3\right)+4y=8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{5y}{2}+3:

$$-\frac{15}{2}y+9+4y=8$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 4y-ին:

$$-\frac{7}{2}y+9=8$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{2}y=-1$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{7}$$

Փոխարինեք \frac{2}{7}-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{7}+3$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ \frac{2}{7}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{5}{7}+3$$

Գումարեք 3 -\frac{5}{7}-ին:

$$x=\frac{16}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{2}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=6,3x+4y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-5\times 3}&\frac{2}{2\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 6+\frac{5}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 6-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{7}\\\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{2}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=6,3x+4y=8$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 6,2\times 3x+2\times 4y=2\times 8$$

Պարզեցնել:

$$6x+15y=18,6x+8y=16$$

Հանեք 6x+8y=16 6x+15y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+15y-8y=18-16$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-8y=18-16$$

Գումարեք 15y -8y-ին:

$$7y=18-16$$

Գումարեք 18 -16-ին:

$$7y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=\frac{2}{7}$$

Փոխարինեք \frac{2}{7}-ը y-ով 3x+4y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+4\times \frac{2}{7}=8$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{2}{7}:

$$3x+\frac{8}{7}=8$$

Հանեք \frac{8}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{48}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{16}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{7},y=\frac{2}{7}$$