Լուծեք {l}{2x+5y=5}{3x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=\frac{13}{25}=0.52$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=5$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y+5:

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-5y=1:

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-5y+5}{2}:

$$-\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}-5y=1$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} -5y-ին:

$$-\frac{25}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{25}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{25}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{13}{25}$$

Փոխարինեք \frac{13}{25}-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{13}{25}+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ \frac{13}{25}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{13}{10}+\frac{5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} -\frac{13}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{6}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}\times 5-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{13}{25}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2$$

Պարզեցնել:

$$6x+15y=15,6x-10y=2$$

Հանեք 6x-10y=2 6x+15y=15-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+15y+10y=15-2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y+10y=15-2$$

Գումարեք 15y 10y-ին:

$$25y=15-2$$

Գումարեք 15 -2-ին:

$$25y=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$y=\frac{13}{25}$$

Փոխարինեք \frac{13}{25}-ը y-ով 3x-5y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-5\times \frac{13}{25}=1$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{13}{25}:

$$3x-\frac{13}{5}=1$$

Գումարեք \frac{13}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$3x=\frac{18}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{6}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$