Լուծեք {l}{2x+5y=2}{3x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=2$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y+2:

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+3y=1:

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{5y}{2}+1:

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 3y-ին:

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{4}{9}$$

Փոխարինեք \frac{4}{9}-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ \frac{4}{9}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

Գումարեք 1 -\frac{10}{9}-ին:

$$x=-\frac{1}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

Պարզեցնել:

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

Հանեք 6x+6y=2 6x+15y=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$15y-6y=6-2$$

Գումարեք 15y -6y-ին:

$$9y=6-2$$

Գումարեք 6 -2-ին:

$$9y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$y=\frac{4}{9}$$

Փոխարինեք \frac{4}{9}-ը y-ով 3x+3y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{4}{9}:

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-\frac{1}{9}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$