Լուծեք {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{7}{5}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+5y=-10$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -5y-10:

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}-5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{7}{5}x+y=3:

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Բազմապատկեք \frac{7}{5} անգամ -\frac{5y}{2}-5:

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Գումարեք -\frac{7y}{2} y-ին:

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y-5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ -4:

$$x=10-5$$

Գումարեք -5 10-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{7}{5}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել \frac{7}{5}x-ը երկու կողմերում:

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

2x-ը և \frac{7x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{7}{5}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Պարզեցնել:

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Հանեք \frac{14}{5}x+2y=6 \frac{14}{5}x+7y=-14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Գումարեք \frac{14x}{5} -\frac{14x}{5}-ին: \frac{14x}{5}-ը և -\frac{14x}{5}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y-2y=-14-6$$

Գումարեք 7y -2y-ին:

$$5y=-14-6$$

Գումարեք -14 -6-ին:

$$5y=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով \frac{7}{5}x+y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{7}{5}x=7$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{7}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-4$$