Լուծեք {l}{2x+4y=5}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$x+y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+4y=5$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4y+5:

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=0:

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

Գումարեք -2y y-ին:

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-\frac{5}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը y-ով x=-2y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{5}{2}:

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} -5-ին:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$x+y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$x+y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+4y=5,x+y=0$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

Հանեք 2x+2y=0 2x+4y=5-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+4y-2y=5$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-2y=5$$

Գումարեք 4y -2y-ին:

$$2y=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{5}{2}-ը y-ով x+y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+\frac{5}{2}=0$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$