Լուծեք {l}{2x+4y=3}{2x+5y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 3 } \\ { 2 x + 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+4y=3,2x+5y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+4y=3$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+3\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4y+3:

$$x=-2y+\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք -2y+\frac{3}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+5y=5:

$$2\left(-2y+\frac{3}{2}\right)+5y=5$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2y+\frac{3}{2}:

$$-4y+3+5y=5$$

Գումարեք -4y 5y-ին:

$$y+3=5$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-2y+\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times 2+\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 2:

$$x=-4+\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} -4-ին:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+4y=3,2x+5y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4\times 2}&-\frac{4}{2\times 5-4\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-4\times 2}&\frac{2}{2\times 5-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 3-2\times 5\\-3+5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{5}{2},y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+4y=3,2x+5y=5$$

Հանեք 2x+5y=5 2x+4y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+4y-5y=3-5$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-5y=3-5$$

Գումարեք 4y -5y-ին:

$$-y=3-5$$

Գումարեք 3 -5-ին:

$$-y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 2x+5y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+5\times 2=5$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 2:

$$2x+10=5$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=2$$