Լուծեք {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+4y=10$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-4y+10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4y+10:

$$x=-2y+5$$

Փոխարինեք -2y+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=7:

$$-2y+5-y=7$$

Գումարեք -2y -y-ին:

$$-3y+5=7$$

Հանեք 5 հավասարման երկու կողմից:

$$-3y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{3}-ը y-ով x=-2y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{2}{3}:

$$x=\frac{4}{3}+5$$

Գումարեք 5 \frac{4}{3}-ին:

$$x=\frac{19}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+4y=10,x-y=7$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Պարզեցնել:

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

Հանեք 2x-2y=14 2x+4y=10-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y+2y=10-14$$

Գումարեք 4y 2y-ին:

$$6y=10-14$$

Գումարեք 10 -14-ին:

$$6y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{3}-ը y-ով x-y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{19}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$