Լուծեք {l}{2x+3y=90}{3y+5x=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 90 } \\ { 3 y + 5 x = 45 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-15$$

$$y=40$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=90$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+90$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+90\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+90:

$$x=-\frac{3}{2}y+45$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+45-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=45:

$$5\left(-\frac{3}{2}y+45\right)+3y=45$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{3y}{2}+45:

$$-\frac{15}{2}y+225+3y=45$$

Գումարեք -\frac{15y}{2} 3y-ին:

$$-\frac{9}{2}y+225=45$$

Հանեք 225 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{9}{2}y=-180$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{9}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=40$$

Փոխարինեք 40-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+45-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 40+45$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 40:

$$x=-60+45$$

Գումարեք 45 -60-ին:

$$x=-15$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-15,y=40$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-3\times 5}&\frac{2}{2\times 3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 90+\frac{1}{3}\times 45\\\frac{5}{9}\times 90-\frac{2}{9}\times 45\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\40\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-15,y=40$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

Հանեք 5x+3y=45 2x+3y=90-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-5x+3y-3y=90-45$$

Գումարեք 3y -3y-ին: 3y-ը և -3y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x-5x=90-45$$

Գումարեք 2x -5x-ին:

$$-3x=90-45$$

Գումարեք 90 -45-ին:

$$-3x=45$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$x=-15$$

Փոխարինեք -15-ը x-ով 5x+3y=45-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$5\left(-15\right)+3y=45$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -15:

$$-75+3y=45$$

Գումարեք 75 հավասարման երկու կողմին:

$$3y=120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=40$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-15,y=40$$