Լուծեք {l}{2x+3y=9}{4x+y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{9}{10}=-0.9$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=9$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+9:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+9}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=0:

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+y=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3y+9}{2}:

$$-6y+18+y=0$$

Գումարեք -6y y-ին:

$$-5y+18=0$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=-18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+\frac{9}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{18}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{27}{5}+\frac{9}{2}$$

Գումարեք \frac{9}{2} -\frac{27}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{9}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 9\\\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=9,4x+y=0$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2y=0$$

Պարզեցնել:

$$8x+12y=36,8x+2y=0$$

Հանեք 8x+2y=0 8x+12y=36-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+12y-2y=36$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y-2y=36$$

Գումարեք 12y -2y-ին:

$$10y=36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=\frac{18}{5}$$

Փոխարինեք \frac{18}{5}-ը y-ով 4x+y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+\frac{18}{5}=0$$

Հանեք \frac{18}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-\frac{18}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-\frac{9}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{9}{10},y=\frac{18}{5}$$