Լուծեք {l}{2x+3y=6}{4x+5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 4 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=6$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+6:

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+3-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+5y=10:

$$4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=10$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3y}{2}+3:

$$-6y+12+5y=10$$

Գումարեք -6y 5y-ին:

$$-y+12=10$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 2:

$$x=-3+3$$

Գումարեք 3 -3-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 6,2\times 4x+2\times 5y=2\times 10$$

Պարզեցնել:

$$8x+12y=24,8x+10y=20$$

Հանեք 8x+10y=20 8x+12y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+12y-10y=24-20$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y-10y=24-20$$

Գումարեք 12y -10y-ին:

$$2y=24-20$$

Գումարեք 24 -20-ին:

$$2y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 4x+5y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+5\times 2=10$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 2:

$$4x+10=10$$

Հանեք 10 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=2$$