Լուծեք {l}{2x+3y=5}{7x=6-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 2 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{8}{17}\approx 0.470588235$$

$$y = \frac{23}{17} = 1\frac{6}{17} \approx 1.352941176$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$7x+2y=6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=5$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+5:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+5}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+2y=6:

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=6$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{-3y+5}{2}:

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+2y=6$$

Գումարեք -\frac{21y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{17}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Հանեք \frac{35}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{17}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{17}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{23}{17}$$

Փոխարինեք \frac{23}{17}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{17}+\frac{5}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{23}{17}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{69}{34}+\frac{5}{2}$$

Գումարեք \frac{5}{2} -\frac{69}{34}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{8}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$7x+2y=6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 6\\\frac{7}{17}\times 5-\frac{2}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\\\frac{23}{17}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$7x+2y=6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

2x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 2y=2\times 6$$

Պարզեցնել:

$$14x+21y=35,14x+4y=12$$

Հանեք 14x+4y=12 14x+21y=35-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+21y-4y=35-12$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$21y-4y=35-12$$

Գումարեք 21y -4y-ին:

$$17y=35-12$$

Գումարեք 35 -12-ին:

$$17y=23$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=\frac{23}{17}$$

Փոխարինեք \frac{23}{17}-ը y-ով 7x+2y=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x+2\times \frac{23}{17}=6$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{23}{17}:

$$7x+\frac{46}{17}=6$$

Հանեք \frac{46}{17} հավասարման երկու կողմից:

$$7x=\frac{56}{17}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{8}{17}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$