Լուծեք {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=2$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+2:

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Փոխարինեք -\frac{3y}{2}+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+16y=3:

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -\frac{3y}{2}+1:

$$-6y+4+16y=3$$

Գումարեք -6y 16y-ին:

$$10y+4=3$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$10y=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-\frac{1}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{10}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ -\frac{1}{10}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Գումարեք 1 \frac{3}{20}-ին:

$$x=\frac{23}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

2x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Պարզեցնել:

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Հանեք 8x+32y=6 8x+12y=8-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Գումարեք 8x -8x-ին: 8x-ը և -8x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y-32y=8-6$$

Գումարեք 12y -32y-ին:

$$-20y=8-6$$

Գումարեք 8 -6-ին:

$$-20y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=-\frac{1}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{10}-ը y-ով 4x+16y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Բազմապատկեք 16 անգամ -\frac{1}{10}:

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Գումարեք \frac{8}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{23}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{23}{20}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$