Լուծեք {l}{2x+3y=13}{2x-1/3+1+y/2=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { \frac { 2 x - 1 } { 3 } + \frac { 1 + y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-4$$

$$y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=13,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=13$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+13:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+13}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1:

$$\frac{1}{3}\left(2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-3y+13}{2}:

$$\frac{1}{3}\left(-3y+13-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Գումարեք 13 -1-ին:

$$\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -3y+12:

$$-y+4+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+1:

$$-y+4+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1$$

Գումարեք -y \frac{y}{2}-ին:

$$-\frac{1}{2}y+4+\frac{1}{2}=1$$

Գումարեք 4 \frac{1}{2}-ին:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=1$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7}{2}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -2-ով:

$$y=7$$

Փոխարինեք 7-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{13}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 7:

$$x=\frac{-21+13}{2}$$

Գումարեք \frac{13}{2} -\frac{21}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=13,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Պարզեցրեք երկրորդ հավասարումը՝ այն ստանդարտ ձևի բերելու համար:

$$\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2x-1:

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ y+1:

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1$$

Գումարեք -\frac{1}{3} \frac{1}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=1$$

Հանեք \frac{1}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{1}{2}-3\times \frac{2}{3}}&-\frac{3}{2\times \frac{1}{2}-3\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{2\times \frac{1}{2}-3\times \frac{2}{3}}&\frac{2}{2\times \frac{1}{2}-3\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&3\\\frac{2}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 13+3\times \frac{5}{6}\\\frac{2}{3}\times 13-2\times \frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-4,y=7$$