Լուծեք {l}{2x+3y=11}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3.4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=11$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+11:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+11}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=8:

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}\right)+2y=8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-3y+11}{2}:

$$-\frac{9}{2}y+\frac{33}{2}+2y=8$$

Գումարեք -\frac{9y}{2} 2y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=8$$

Հանեք \frac{33}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{17}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{17}{5}$$

Փոխարինեք \frac{17}{5}-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{11}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{17}{5}+\frac{11}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ \frac{17}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{51}{10}+\frac{11}{2}$$

Գումարեք \frac{11}{2} -\frac{51}{10}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{2}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 11+\frac{3}{5}\times 8\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{17}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=11,3x+2y=8$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 11,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

Պարզեցնել:

$$6x+9y=33,6x+4y=16$$

Հանեք 6x+4y=16 6x+9y=33-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+9y-4y=33-16$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$9y-4y=33-16$$

Գումարեք 9y -4y-ին:

$$5y=33-16$$

Գումարեք 33 -16-ին:

$$5y=17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{17}{5}$$

Փոխարինեք \frac{17}{5}-ը y-ով 3x+2y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{17}{5}=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{17}{5}:

$$3x+\frac{34}{5}=8$$

Հանեք \frac{34}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{6}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{2}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{17}{5}$$