Լուծեք {l}{2x+2y=4}{3x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+2y=4$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-2y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -2y+4:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-2y=12:

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -y+2:

$$-3y+6-2y=12$$

Գումարեք -3y -2y-ին:

$$-5y+6=12$$

Հանեք 6 հավասարման երկու կողմից:

$$-5y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$y=-\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{5}-ը y-ով x=-y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{6}{5}:

$$x=\frac{6}{5}+2$$

Գումարեք 2 \frac{6}{5}-ին:

$$x=\frac{16}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

2x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

Պարզեցնել:

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

Հանեք 6x-4y=24 6x+6y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+4y=12-24$$

Գումարեք 6y 4y-ին:

$$10y=12-24$$

Գումարեք 12 -24-ին:

$$10y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք -\frac{6}{5}-ը y-ով 3x-2y=12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{6}{5}:

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

Հանեք \frac{12}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{48}{5}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{16}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$