Լուծեք {l}{2x+2y=-4}{-2x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = - 4 } \\ { - 2 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+2y=-4,-2x+2y=-8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+2y=-4$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-2y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -2y-4:

$$x=-y-2$$

Փոխարինեք -y-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x+2y=-8:

$$-2\left(-y-2\right)+2y=-8$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -y-2:

$$2y+4+2y=-8$$

Գումարեք 2y 2y-ին:

$$4y+4=-8$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$4y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-3\right)-2$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -3:

$$x=3-2$$

Գումարեք -2 3-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+2y=-4,-2x+2y=-8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 2-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 2-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 2-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\left(-8\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{4}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+2y=-4,-2x+2y=-8$$

Հանեք -2x+2y=-8 2x+2y=-4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x+2x+2y-2y=-4+8$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2x+2x=-4+8$$

Գումարեք 2x 2x-ին:

$$4x=-4+8$$

Գումարեք -4 8-ին:

$$4x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով -2x+2y=-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-2+2y=-8$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2y=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-3$$