Լուծեք {l}{2x+12y=275}{5x+3y=242}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 12 y = 275 } \\ { 5 x + 3 y = 242 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{77}{2} = 38\frac{1}{2} = 38.5$$

$$y = \frac{33}{2} = 16\frac{1}{2} = 16.5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+12y=275,5x+3y=242$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+12y=275$$

Հանեք 12y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-12y+275$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-12y+275\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -12y+275:

$$x=-6y+\frac{275}{2}$$

Փոխարինեք -6y+\frac{275}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+3y=242:

$$5\left(-6y+\frac{275}{2}\right)+3y=242$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -6y+\frac{275}{2}:

$$-30y+\frac{1375}{2}+3y=242$$

Գումարեք -30y 3y-ին:

$$-27y+\frac{1375}{2}=242$$

Հանեք \frac{1375}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-27y=-\frac{891}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -27-ի:

$$y=\frac{33}{2}$$

Փոխարինեք \frac{33}{2}-ը y-ով x=-6y+\frac{275}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-6\times \frac{33}{2}+\frac{275}{2}$$

Բազմապատկեք -6 անգամ \frac{33}{2}:

$$x=-99+\frac{275}{2}$$

Գումարեք \frac{275}{2} -99-ին:

$$x=\frac{77}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{77}{2},y=\frac{33}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+12y=275,5x+3y=242$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&12\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-12\times 5}&-\frac{12}{2\times 3-12\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-12\times 5}&\frac{2}{2\times 3-12\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\\\frac{5}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}275\\242\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 275+\frac{2}{9}\times 242\\\frac{5}{54}\times 275-\frac{1}{27}\times 242\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{77}{2}\\\frac{33}{2}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{77}{2},y=\frac{33}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+12y=275,5x+3y=242$$

2x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$5\times 2x+5\times 12y=5\times 275,2\times 5x+2\times 3y=2\times 242$$

Պարզեցնել:

$$10x+60y=1375,10x+6y=484$$

Հանեք 10x+6y=484 10x+60y=1375-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-10x+60y-6y=1375-484$$

Գումարեք 10x -10x-ին: 10x-ը և -10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$60y-6y=1375-484$$

Գումարեք 60y -6y-ին:

$$54y=1375-484$$

Գումարեք 1375 -484-ին:

$$54y=891$$

Բաժանեք երկու կողմերը 54-ի:

$$y=\frac{33}{2}$$

Փոխարինեք \frac{33}{2}-ը y-ով 5x+3y=242-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+3\times \frac{33}{2}=242$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{33}{2}:

$$5x+\frac{99}{2}=242$$

Հանեք \frac{99}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=\frac{385}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{77}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{77}{2},y=\frac{33}{2}$$