Լուծեք {l}{2r+3s=37}{8r+9s=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 r + 3 s = 37 } \\ { 8 r + 9 s = 124 } \end{array} \right.$$

Լուծել r, s-ի համար

$$r = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$s=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն r-ի համար՝ առանձնացնելով r-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2r+3s=37$$

Հանեք 3s հավասարման երկու կողմից:

$$2r=-3s+37$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$r=\frac{1}{2}\left(-3s+37\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3s+37:

$$r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3s+37}{2}-ը r-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8r+9s=124:

$$8\left(-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}\right)+9s=124$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{-3s+37}{2}:

$$-12s+148+9s=124$$

Գումարեք -12s 9s-ին:

$$-3s+148=124$$

Հանեք 148 հավասարման երկու կողմից:

$$-3s=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$s=8$$

Փոխարինեք 8-ը s-ով r=-\frac{3}{2}s+\frac{37}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$r=-\frac{3}{2}\times 8+\frac{37}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 8:

$$r=-12+\frac{37}{2}$$

Գումարեք \frac{37}{2} -12-ին:

$$r=\frac{13}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 8}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 8}\\-\frac{8}{2\times 9-3\times 8}&\frac{2}{2\times 9-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}37\\124\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 37+\frac{1}{2}\times 124\\\frac{4}{3}\times 37-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\8\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի r և s տարրերը:

$$r=\frac{13}{2},s=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2r+3s=37,8r+9s=124$$

2r-ը և 8r-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$8\times 2r+8\times 3s=8\times 37,2\times 8r+2\times 9s=2\times 124$$

Պարզեցնել:

$$16r+24s=296,16r+18s=248$$

Հանեք 16r+18s=248 16r+24s=296-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$16r-16r+24s-18s=296-248$$

Գումարեք 16r -16r-ին: 16r-ը և -16r-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$24s-18s=296-248$$

Գումարեք 24s -18s-ին:

$$6s=296-248$$

Գումարեք 296 -248-ին:

$$6s=48$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$s=8$$

Փոխարինեք 8-ը s-ով 8r+9s=124-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$8r+9\times 8=124$$

Բազմապատկեք 9 անգամ 8:

$$8r+72=124$$

Հանեք 72 հավասարման երկու կողմից:

$$8r=52$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$r=\frac{13}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{13}{2},s=8$$