Լուծեք {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2bx+ay=2ab$$

Հանեք ay հավասարման երկու կողմից:

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2b-ի:

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2b} անգամ a\left(-y+2b\right):

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Փոխարինեք a-\frac{ay}{2b}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ bx+\left(-a\right)y=4ab:

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Բազմապատկեք b անգամ a-\frac{ay}{2b}:

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Գումարեք -\frac{ay}{2} -ay-ին:

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Հանեք ba հավասարման երկու կողմից:

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{3a}{2}-ի:

$$y=-2b$$

Փոխարինեք -2b-ը y-ով x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Բազմապատկեք -\frac{a}{2b} անգամ -2b:

$$x=a+a$$

Գումարեք a a-ին:

$$x=2a$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2a,y=-2b$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2a,y=-2b$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx-ը և bx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները b-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2b-ով:

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Պարզեցնել:

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Հանեք 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} 2b^{2}x+aby=2ab^{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Գումարեք 2b^{2}x -2b^{2}x-ին: 2b^{2}x-ը և -2b^{2}x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Գումարեք bay 2bay-ին:

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Գումարեք 2ab^{2} -8ab^{2}-ին:

$$3aby=-6ab^{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3ba-ի:

$$y=-2b$$

Փոխարինեք -2b-ը y-ով bx+\left(-a\right)y=4ab-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Բազմապատկեք -a անգամ -2b:

$$bx+2ab=4ab$$

Հանեք 2ba հավասարման երկու կողմից:

$$bx=2ab$$

Բաժանեք երկու կողմերը b-ի:

$$x=2a$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2a,y=-2b$$