Լուծեք {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=-12$$

$$b=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2a+3b=0$$

Հանեք 3b հավասարման երկու կողմից:

$$2a=-3b$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3b:

$$a=-\frac{3}{2}b$$

Փոխարինեք -\frac{3b}{2}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2a+5b=16:

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{3b}{2}:

$$-3b+5b=16$$

Գումարեք -3b 5b-ին:

$$2b=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$b=8$$

Փոխարինեք 8-ը b-ով a=-\frac{3}{2}b-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 8:

$$a=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-12,b=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-12,b=8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

Հանեք 2a+5b=16 2a+3b=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

Գումարեք 2a -2a-ին: 2a-ը և -2a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3b-5b=-16$$

Գումարեք 3b -5b-ին:

$$-2b=-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$b=8$$

Փոխարինեք 8-ը b-ով 2a+5b=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$2a+5\times 8=16$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 8:

$$2a+40=16$$

Հանեք 40 հավասարման երկու կողմից:

$$2a=-24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$a=-12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-12,b=8$$