Լուծեք {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել X, Y-ի համար

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 Y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 X+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9X+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8Y-4=9X+5$$

Հանեք 9X երկու կողմերից:

$$8Y-4-9X=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8Y-9X=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8Y-9X=9$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն X-ի համար՝ առանձնացնելով X-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Հանեք 4Y հավասարման երկու կողմից:

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -4Y+\frac{5}{2}:

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Փոխարինեք -2Y+\frac{5}{4}-ը X-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9X+8Y=9:

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Բազմապատկեք -9 անգամ -2Y+\frac{5}{4}:

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Գումարեք 18Y 8Y-ին:

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Գումարեք \frac{45}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 26-ի:

$$Y=\frac{81}{104}$$

Փոխարինեք \frac{81}{104}-ը Y-ով X=-2Y+\frac{5}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես X-ի համար:

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{81}{104}:

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Գումարեք \frac{5}{4} -\frac{81}{52}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$X=-\frac{4}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 Y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 X+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9X+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8Y-4=9X+5$$

Հանեք 9X երկու կողմերից:

$$8Y-4-9X=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8Y-9X=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8Y-9X=9$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի X և Y տարրերը:

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հավելել 2-ը երկու կողմերում:

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Գումարեք \frac{1}{2} և 2 և ստացեք \frac{5}{2}:

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 8 Y-\frac{1}{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 9 X+1-ով բազմապատկելու համար:

$$8Y-4=9X+9-4$$

Հանեք 4 9-ից և ստացեք 5:

$$8Y-4=9X+5$$

Հանեք 9X երկու կողմերից:

$$8Y-4-9X=5$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$8Y-9X=5+4$$

Գումարեք 5 և 4 և ստացեք 9:

$$8Y-9X=9$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X-ը և -9X-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Պարզեցնել:

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Հանեք -18X+16Y=18 -18X-36Y=-\frac{45}{2}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -18X 18X-ին: -18X-ը և 18X-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -36Y -16Y-ին:

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Գումարեք -\frac{45}{2} -18-ին:

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -52-ի:

$$Y=\frac{81}{104}$$

Փոխարինեք \frac{81}{104}-ը Y-ով -9X+8Y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես X-ի համար:

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{81}{104}:

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Հանեք \frac{81}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$X=-\frac{4}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$