Լուծեք {l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=30$$

$$y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4x=6y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 6y:

$$x=\frac{3}{2}y$$

Փոխարինեք \frac{3y}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+12y=360:

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{3y}{2}:

$$6y+12y=360$$

Գումարեք 6y 12y-ին:

$$18y=360$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով x=\frac{3}{2}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ 20:

$$x=30$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=30,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4x=6y$$

Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$4x-6y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք 2 և 6-ով և ստացեք 12:

$$4x+12y=360$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=30,y=20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բազմապատկեք 2 և 2-ով և ստացեք 4:

$$4x=6y$$

Հանեք 6y երկու կողմերից:

$$4x-6y=0$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք 2 և 6-ով և ստացեք 12:

$$4x+12y=360$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

Հանեք 4x+12y=360 4x-6y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

Գումարեք 4x -4x-ին: 4x-ը և -4x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y-12y=-360$$

Գումարեք -6y -12y-ին:

$$-18y=-360$$

Բաժանեք երկու կողմերը -18-ի:

$$y=20$$

Փոխարինեք 20-ը y-ով 4x+12y=360-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+12\times 20=360$$

Բազմապատկեք 12 անգամ 20:

$$4x+240=360$$

Հանեք 240 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=120$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=30$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=30,y=20$$