Լուծեք {l}{19x+3y=1}{19x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$19x+3y=1$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$19x=-3y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{19} անգամ -3y+1:

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+1}{19}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 19x+4y=0:

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

Բազմապատկեք 19 անգամ \frac{-3y+1}{19}:

$$-3y+1+4y=0$$

Գումարեք -3y 4y-ին:

$$y+1=0$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{19} անգամ -1:

$$x=\frac{3+1}{19}$$

Գումարեք \frac{1}{19} \frac{3}{19}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{4}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

Հանեք 19x+4y=0 19x+3y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$19x-19x+3y-4y=1$$

Գումարեք 19x -19x-ին: 19x-ը և -19x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y-4y=1$$

Գումարեք 3y -4y-ին:

$$-y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 19x+4y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ -1:

$$19x-4=0$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$19x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$x=\frac{4}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$