Լուծեք {l}{18x-16y=-312}{78x-16y=408}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 16 y = - 312 } \\ { 78 x - 16 y = 408 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=12$$

$$y=33$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$18x-16y=-312$$

Գումարեք 16y հավասարման երկու կողմին:

$$18x=16y-312$$

Բաժանեք երկու կողմերը 18-ի:

$$x=\frac{1}{18}\left(16y-312\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{18} անգամ 16y-312:

$$x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}$$

Փոխարինեք \frac{8y}{9}-\frac{52}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 78x-16y=408:

$$78\left(\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}\right)-16y=408$$

Բազմապատկեք 78 անգամ \frac{8y}{9}-\frac{52}{3}:

$$\frac{208}{3}y-1352-16y=408$$

Գումարեք \frac{208y}{3} -16y-ին:

$$\frac{160}{3}y-1352=408$$

Գումարեք 1352 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{160}{3}y=1760$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{160}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=33$$

Փոխարինեք 33-ը y-ով x=\frac{8}{9}y-\frac{52}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{8}{9}\times 33-\frac{52}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{8}{9} անգամ 33:

$$x=\frac{88-52}{3}$$

Գումարեք -\frac{52}{3} \frac{88}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=12$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=33$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-16\\78&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&-\frac{-16}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\\-\frac{78}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}&\frac{18}{18\left(-16\right)-\left(-16\times 78\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}&\frac{1}{60}\\-\frac{13}{160}&\frac{3}{160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-312\\408\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{60}\left(-312\right)+\frac{1}{60}\times 408\\-\frac{13}{160}\left(-312\right)+\frac{3}{160}\times 408\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\33\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=12,y=33$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$18x-16y=-312,78x-16y=408$$

Հանեք 78x-16y=408 18x-16y=-312-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$18x-78x-16y+16y=-312-408$$

Գումարեք -16y 16y-ին: -16y-ը և 16y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$18x-78x=-312-408$$

Գումարեք 18x -78x-ին:

$$-60x=-312-408$$

Գումարեք -312 -408-ին:

$$-60x=-720$$

Բաժանեք երկու կողմերը -60-ի:

$$x=12$$

Փոխարինեք 12-ը x-ով 78x-16y=408-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$78\times 12-16y=408$$

Բազմապատկեք 78 անգամ 12:

$$936-16y=408$$

Հանեք 936 հավասարման երկու կողմից:

$$-16y=-528$$

Բաժանեք երկու կողմերը -16-ի:

$$y=33$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=12,y=33$$