Լուծեք {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$16x-7y=-7$$

Գումարեք 7y հավասարման երկու կողմին:

$$16x=7y-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{16} անգամ -7+7y:

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

Փոխարինեք \frac{-7+7y}{16}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 20x-19y=-6:

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

Բազմապատկեք 20 անգամ \frac{-7+7y}{16}:

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

Գումարեք \frac{35y}{4} -19y-ին:

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

Գումարեք \frac{35}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{41}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{11}{41}$$

Փոխարինեք -\frac{11}{41}-ը y-ով x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{16} անգամ -\frac{11}{41}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

Գումարեք -\frac{7}{16} -\frac{77}{656}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{91}{164}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

16x-ը և 20x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 20-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 16-ով:

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

Պարզեցնել:

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

Հանեք 320x-304y=-96 320x-140y=-140-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

Գումարեք 320x -320x-ին: 320x-ը և -320x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-140y+304y=-140+96$$

Գումարեք -140y 304y-ին:

$$164y=-140+96$$

Գումարեք -140 96-ին:

$$164y=-44$$

Բաժանեք երկու կողմերը 164-ի:

$$y=-\frac{11}{41}$$

Փոխարինեք -\frac{11}{41}-ը y-ով 20x-19y=-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

Բազմապատկեք -19 անգամ -\frac{11}{41}:

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

Հանեք \frac{209}{41} հավասարման երկու կողմից:

$$20x=-\frac{455}{41}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$x=-\frac{91}{164}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$