Լուծեք {l}{15x+15y=15}{17x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 15 y = 15 } \\ { 17 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$15x+15y=15$$

Հանեք 15y հավասարման երկու կողմից:

$$15x=-15y+15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$x=\frac{1}{15}\left(-15y+15\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{15} անգամ -15y+15:

$$x=-y+1$$

Փոխարինեք -y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 17x+18y=19:

$$17\left(-y+1\right)+18y=19$$

Բազմապատկեք 17 անգամ -y+1:

$$-17y+17+18y=19$$

Գումարեք -17y 18y-ին:

$$y+17=19$$

Հանեք 17 հավասարման երկու կողմից:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2+1$$

Գումարեք 1 -2-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&15\\17&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{15\times 18-15\times 17}&-\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\\-\frac{17}{15\times 18-15\times 17}&\frac{15}{15\times 18-15\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-1\\-\frac{17}{15}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 15-19\\-\frac{17}{15}\times 15+19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$15x+15y=15,17x+18y=19$$

15x-ը և 17x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 17-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 15-ով:

$$17\times 15x+17\times 15y=17\times 15,15\times 17x+15\times 18y=15\times 19$$

Պարզեցնել:

$$255x+255y=255,255x+270y=285$$

Հանեք 255x+270y=285 255x+255y=255-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$255x-255x+255y-270y=255-285$$

Գումարեք 255x -255x-ին: 255x-ը և -255x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$255y-270y=255-285$$

Գումարեք 255y -270y-ին:

$$-15y=255-285$$

Գումարեք 255 -285-ին:

$$-15y=-30$$

Բաժանեք երկու կողմերը -15-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 17x+18y=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$17x+18\times 2=19$$

Բազմապատկեք 18 անգամ 2:

$$17x+36=19$$

Հանեք 36 հավասարման երկու կողմից:

$$17x=-17$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=2$$