Լուծեք {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$15x+107y=1$$

Հանեք 107y հավասարման երկու կողմից:

$$15x=-107y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{15} անգամ -107y+1:

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Փոխարինեք \frac{-107y+1}{15}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 71x+179y=-287:

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Բազմապատկեք 71 անգամ \frac{-107y+1}{15}:

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Գումարեք -\frac{7597y}{15} 179y-ին:

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Հանեք \frac{71}{15} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4912}{15}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{547}{614}$$

Փոխարինեք \frac{547}{614}-ը y-ով x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Բազմապատկեք -\frac{107}{15} անգամ \frac{547}{614}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Գումարեք \frac{1}{15} -\frac{58529}{9210}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x-ը և 71x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 71-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 15-ով:

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Պարզեցնել:

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Հանեք 1065x+2685y=-4305 1065x+7597y=71-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Գումարեք 1065x -1065x-ին: 1065x-ը և -1065x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7597y-2685y=71+4305$$

Գումարեք 7597y -2685y-ին:

$$4912y=71+4305$$

Գումարեք 71 4305-ին:

$$4912y=4376$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4912-ի:

$$y=\frac{547}{614}$$

Փոխարինեք \frac{547}{614}-ը y-ով 71x+179y=-287-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Բազմապատկեք 179 անգամ \frac{547}{614}:

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Հանեք \frac{97913}{614} հավասարման երկու կողմից:

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 71-ի:

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$