Լուծեք {l}{13y+2x=32}{5x+4y=80}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 y + 2 x = 32 } \\ { 5 x + 4 y = 80 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=16$$

$$y=0$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$13y+2x=32,4y+5x=80$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$13y+2x=32$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$13y=-2x+32$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=\frac{1}{13}\left(-2x+32\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{13} անգամ -2x+32:

$$y=-\frac{2}{13}x+\frac{32}{13}$$

Փոխարինեք \frac{-2x+32}{13}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4y+5x=80:

$$4\left(-\frac{2}{13}x+\frac{32}{13}\right)+5x=80$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-2x+32}{13}:

$$-\frac{8}{13}x+\frac{128}{13}+5x=80$$

Գումարեք -\frac{8x}{13} 5x-ին:

$$\frac{57}{13}x+\frac{128}{13}=80$$

Հանեք \frac{128}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{57}{13}x=\frac{912}{13}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{57}{13}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=16$$

Փոխարինեք 16-ը x-ով y=-\frac{2}{13}x+\frac{32}{13}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{2}{13}\times 16+\frac{32}{13}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{13} անգամ 16:

$$y=\frac{-32+32}{13}$$

Գումարեք \frac{32}{13} -\frac{32}{13}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=16$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$13y+2x=32,4y+5x=80$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13\times 5-2\times 4}&-\frac{2}{13\times 5-2\times 4}\\-\frac{4}{13\times 5-2\times 4}&\frac{13}{13\times 5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{57}&-\frac{2}{57}\\-\frac{4}{57}&\frac{13}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\80\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{57}\times 32-\frac{2}{57}\times 80\\-\frac{4}{57}\times 32+\frac{13}{57}\times 80\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=0,x=16$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$13y+2x=32,4y+5x=80$$

13y-ը և 4y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 13-ով:

$$4\times 13y+4\times 2x=4\times 32,13\times 4y+13\times 5x=13\times 80$$

Պարզեցնել:

$$52y+8x=128,52y+65x=1040$$

Հանեք 52y+65x=1040 52y+8x=128-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$52y-52y+8x-65x=128-1040$$

Գումարեք 52y -52y-ին: 52y-ը և -52y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$8x-65x=128-1040$$

Գումարեք 8x -65x-ին:

$$-57x=128-1040$$

Գումարեք 128 -1040-ին:

$$-57x=-912$$

Բաժանեք երկու կողմերը -57-ի:

$$x=16$$

Փոխարինեք 16-ը x-ով 4y+5x=80-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$4y+5\times 16=80$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 16:

$$4y+80=80$$

Հանեք 80 հավասարման երկու կողմից:

$$4y=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=0,x=16$$