Լուծեք {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$12x+4y=6$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$12x=-4y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{12} անգամ -4y+6:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x+16y=8:

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}:

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Գումարեք -3y 16y-ին:

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$13y=\frac{7}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$y=\frac{7}{26}$$

Փոխարինեք \frac{7}{26}-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ \frac{7}{26}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} -\frac{7}{78}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{16}{39}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 12-ով:

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Պարզեցնել:

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Հանեք 108x+192y=96 108x+36y=54-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Գումարեք 108x -108x-ին: 108x-ը և -108x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36y-192y=54-96$$

Գումարեք 36y -192y-ին:

$$-156y=54-96$$

Գումարեք 54 -96-ին:

$$-156y=-42$$

Բաժանեք երկու կողմերը -156-ի:

$$y=\frac{7}{26}$$

Փոխարինեք \frac{7}{26}-ը y-ով 9x+16y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Բազմապատկեք 16 անգամ \frac{7}{26}:

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Հանեք \frac{56}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$9x=\frac{48}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{16}{39}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$