Լուծեք {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=-1$$

$$b=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$12a+4b=-4$$

Հանեք 4b հավասարման երկու կողմից:

$$12a=-4b-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{12} անգամ -4b-4:

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-b-1}{3}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3a-9b=-21:

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-b-1}{3}:

$$-b-1-9b=-21$$

Գումարեք -b -9b-ին:

$$-10b-1=-21$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$-10b=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$b=2$$

Փոխարինեք 2-ը b-ով a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 2:

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Գումարեք -\frac{1}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-1,b=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-1,b=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a-ը և 3a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 12-ով:

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Պարզեցնել:

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Հանեք 36a-108b=-252 36a+12b=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Գումարեք 36a -36a-ին: 36a-ը և -36a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12b+108b=-12+252$$

Գումարեք 12b 108b-ին:

$$120b=-12+252$$

Գումարեք -12 252-ին:

$$120b=240$$

Բաժանեք երկու կողմերը 120-ի:

$$b=2$$

Փոխարինեք 2-ը b-ով 3a-9b=-21-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$3a-9\times 2=-21$$

Բազմապատկեք -9 անգամ 2:

$$3a-18=-21$$

Գումարեք 18 հավասարման երկու կողմին:

$$3a=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-1,b=2$$