Լուծեք {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=-25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x+2y=50$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$10x=-2y+50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ -2y+50:

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Փոխարինեք -\frac{y}{5}+5-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+2y=20:

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{y}{5}+5:

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Գումարեք -\frac{7y}{5} 2y-ին:

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Հանեք 35 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-25$$

Փոխարինեք -25-ը y-ով x=-\frac{1}{5}y+5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -25:

$$x=5+5$$

Գումարեք 5 5-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=-25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Հանեք 7x+2y=20 10x+2y=50-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Գումարեք 2y -2y-ին: 2y-ը և -2y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10x-7x=50-20$$

Գումարեք 10x -7x-ին:

$$3x=50-20$$

Գումարեք 50 -20-ին:

$$3x=30$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=10$$

Փոխարինեք 10-ը x-ով 7x+2y=20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$7\times 10+2y=20$$

Բազմապատկեք 7 անգամ 10:

$$70+2y=20$$

Հանեք 70 հավասարման երկու կողմից:

$$2y=-50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=-25$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-25$$