Լուծեք {l}{1x-3y=1}{3y+x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x - 3 y = 1 } \\ { 3 y + x = 2 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-3y=1$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$x=3y+1$$

Փոխարինեք 3y+1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+3y=2:

$$3y+1+3y=2$$

Գումարեք 3y 3y-ին:

$$6y+1=2$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$6y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=\frac{1}{6}$$

Փոխարինեք \frac{1}{6}-ը y-ով x=3y+1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times \frac{1}{6}+1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{1}{6}:

$$x=\frac{1}{2}+1$$

Գումարեք 1 \frac{1}{2}-ին:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-3y=1,x+3y=2$$

Հանեք x+3y=2 x-3y=1-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x-x-3y-3y=1-2$$

Գումարեք x -x-ին: x-ը և -x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-3y-3y=1-2$$

Գումարեք -3y -3y-ին:

$$-6y=1-2$$

Գումարեք 1 -2-ին:

$$-6y=-1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=\frac{1}{6}$$

Փոխարինեք \frac{1}{6}-ը y-ով x+3y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x+3\times \frac{1}{6}=2$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{1}{6}:

$$x+\frac{1}{2}=2$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{6}$$