Լուծեք {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Լուծել r, s-ի համար

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2r-3s=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3r+2s=4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն r-ի համար՝ առանձնացնելով r-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2r-3s=1$$

Գումարեք 3s հավասարման երկու կողմին:

$$2r=3s+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 3s+1:

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Փոխարինեք \frac{3s+1}{2}-ը r-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3r+2s=4:

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{3s+1}{2}:

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Գումարեք \frac{9s}{2} 2s-ին:

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{13}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$s=\frac{5}{13}$$

Փոխարինեք \frac{5}{13}-ը s-ով r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{2} անգամ \frac{5}{13}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} \frac{15}{26}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$r=\frac{14}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2r-3s=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3r+2s=4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի r և s տարրերը:

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2r-3s=1$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3r+2s=4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r-ը և 3r-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Պարզեցնել:

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Հանեք 6r+4s=8 6r-9s=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Գումարեք 6r -6r-ին: 6r-ը և -6r-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9s-4s=3-8$$

Գումարեք -9s -4s-ին:

$$-13s=3-8$$

Գումարեք 3 -8-ին:

$$-13s=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$s=\frac{5}{13}$$

Փոխարինեք \frac{5}{13}-ը s-ով 3r+2s=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես r-ի համար:

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{5}{13}:

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Հանեք \frac{10}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$3r=\frac{42}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$r=\frac{14}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$