Լուծեք {l}{1/2x-2/3y=1}{1/5x+1/3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 / 2 x - 2 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 5 x + 1 / 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1,\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1$$

Գումարեք \frac{2y}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+1\right)$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{2y}{3}+1:

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

Փոխարինեք \frac{4y}{3}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}y=4:

$$\frac{1}{5}\left(\frac{4}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=4$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ \frac{4y}{3}+2:

$$\frac{4}{15}y+\frac{2}{5}+\frac{1}{3}y=4$$

Գումարեք \frac{4y}{15} \frac{y}{3}-ին:

$$\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}=4$$

Հանեք \frac{2}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{3}{5}y=\frac{18}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{3}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով x=\frac{4}{3}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{3}\times 6+2$$

Բազմապատկեք \frac{4}{3} անգամ 6:

$$x=8+2$$

Գումարեք 2 8-ին:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1,\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{5}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{5}\right)}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{5}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{9}&\frac{20}{9}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{9}+\frac{20}{9}\times 4\\-\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1,\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}y=4$$

\frac{x}{2}-ը և \frac{x}{5}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{5}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ \frac{1}{2}-ով:

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{5},\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{2}\times 4$$

Պարզեցնել:

$$\frac{1}{10}x-\frac{2}{15}y=\frac{1}{5},\frac{1}{10}x+\frac{1}{6}y=2$$

Հանեք \frac{1}{10}x+\frac{1}{6}y=2 \frac{1}{10}x-\frac{2}{15}y=\frac{1}{5}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\frac{1}{10}x-\frac{1}{10}x-\frac{2}{15}y-\frac{1}{6}y=\frac{1}{5}-2$$

Գումարեք \frac{x}{10} -\frac{x}{10}-ին: \frac{x}{10}-ը և -\frac{x}{10}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{2}{15}y-\frac{1}{6}y=\frac{1}{5}-2$$

Գումարեք -\frac{2y}{15} -\frac{y}{6}-ին:

$$-\frac{3}{10}y=\frac{1}{5}-2$$

Գումարեք \frac{1}{5} -2-ին:

$$-\frac{3}{10}y=-\frac{9}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=6$$

Փոխարինեք 6-ը y-ով \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times 6=4$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 6:

$$\frac{1}{5}x+2=4$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{5}x=2$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 5-ով:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=6$$