Լուծեք {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

Լուծել x_3, x_2-ի համար

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x_{3}-ի համար՝ առանձնացնելով x_{3}-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

Հանեք \frac{4x_{2}}{25} հավասարման երկու կողմից:

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 0.041-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1000}{41} անգամ -\frac{4x_{2}}{25}+0.9:

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

Փոխարինեք \frac{-160x_{2}+900}{41}-ը x_{3}-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117:

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

Բազմապատկեք -0.002 անգամ \frac{-160x_{2}+900}{41}:

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

Գումարեք \frac{8x_{2}}{1025} \frac{41x_{2}}{1000}-ին:

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

Գումարեք \frac{9}{205} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{2001}{41000}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Փոխարինեք \frac{2199}{667}-ը x_{2}-ով x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{3}-ի համար:

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

Բազմապատկեք -\frac{160}{41} անգամ \frac{2199}{667}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

Գումարեք \frac{900}{41} -\frac{351840}{27347}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x_{3} և x_{2} տարրերը:

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000}-ը և -\frac{x_{3}}{500}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -0.002-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 0.041-ով:

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

Պարզեցնել:

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

Հանեք -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Գումարեք -\frac{41x_{3}}{500000} \frac{41x_{3}}{500000}-ին: -\frac{41x_{3}}{500000}-ը և \frac{41x_{3}}{500000}-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Գումարեք -\frac{x_{2}}{3125} -\frac{1681x_{2}}{1000000}-ին:

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

Գումարեք -0.0018 -0.004797-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -0.002001-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

Փոխարինեք \frac{2199}{667}-ը x_{2}-ով -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x_{3}-ի համար:

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

Բազմապատկեք 0.041 անգամ \frac{2199}{667}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

Հանեք \frac{90159}{667000} հավասարման երկու կողմից:

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -500-ով:

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$