Լուծեք {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

Լուծել b, c-ի համար

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Հանեք \frac{1}{3} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3+3b+c=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3b+c=-3$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն b-ի համար՝ առանձնացնելով b-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Հանեք c հավասարման երկու կողմից:

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -c-\frac{1}{3}:

$$b=c+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք c+\frac{1}{3}-ը b-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3b+c=-3:

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

Բազմապատկեք 3 անգամ c+\frac{1}{3}:

$$3c+1+c=-3$$

Գումարեք 3c c-ին:

$$4c+1=-3$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$4c=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$c=-1$$

Փոխարինեք -1-ը c-ով b=c+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} -1-ին:

$$b=-\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Հանեք \frac{1}{3} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3+3b+c=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3b+c=-3$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի b և c տարրերը:

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

Հանեք \frac{1}{3} երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$3+3b+c=0$$

Հանեք 3 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3b+c=-3$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

Հանեք 3b+c=-3 -b+c=-\frac{1}{3}-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

Գումարեք c -c-ին: c-ը և -c-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

Գումարեք -b -3b-ին:

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

Գումարեք -\frac{1}{3} 3-ին:

$$-4b=\frac{8}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$b=-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք -\frac{2}{3}-ը b-ով 3b+c=-3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես c-ի համար:

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -\frac{2}{3}:

$$-2+c=-3$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$c=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$