Լուծեք {l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-y=-2$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(y-2\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ y-2:

$$x=-y+2$$

Փոխարինեք -y+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x-2y=-15:

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -y+2:

$$-9y+18-2y=-15$$

Գումարեք -9y -2y-ին:

$$-11y+18=-15$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-11y=-33$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3+2$$

Գումարեք 2 -3-ին:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

-x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

Պարզեցնել:

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

Հանեք -9x+2y=15 -9x-9y=-18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

Գումարեք -9x 9x-ին: -9x-ը և 9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y-2y=-18-15$$

Գումարեք -9y -2y-ին:

$$-11y=-18-15$$

Գումարեք -18 -15-ին:

$$-11y=-33$$

Բաժանեք երկու կողմերը -11-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 9x-2y=-15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x-2\times 3=-15$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 3:

$$9x-6=-15$$

Գումարեք 6 հավասարման երկու կողմին:

$$9x=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=3$$