Լուծեք {l}{-x-5y=14}{-2x-7y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 14 } \\ { - 2 x - 7 y = 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-5y=14$$

Գումարեք 5y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=5y+14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(5y+14\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 5y+14:

$$x=-5y-14$$

Փոխարինեք -5y-14-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-7y=16:

$$-2\left(-5y-14\right)-7y=16$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -5y-14:

$$10y+28-7y=16$$

Գումարեք 10y -7y-ին:

$$3y+28=16$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=-5y-14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5\left(-4\right)-14$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -4:

$$x=20-14$$

Գումարեք -14 20-ին:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 14-\frac{5}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 14+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-5y=14,-2x-7y=16$$

-x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-2\left(-1\right)x-2\left(-5\right)y=-2\times 14,-\left(-2\right)x-\left(-7y\right)=-16$$

Պարզեցնել:

$$2x+10y=-28,2x+7y=-16$$

Հանեք 2x+7y=-16 2x+10y=-28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+10y-7y=-28+16$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-7y=-28+16$$

Գումարեք 10y -7y-ին:

$$3y=-28+16$$

Գումարեք -28 16-ին:

$$3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով -2x-7y=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-7\left(-4\right)=16$$

Բազմապատկեք -7 անգամ -4:

$$-2x+28=16$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$-2x=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-4$$