Լուծեք {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-3y=6$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=3y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 6+3y:

$$x=-3y-6$$

Փոխարինեք -3y-6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+3y=3:

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -3y-6:

$$-6y-12+3y=3$$

Գումարեք -6y 3y-ին:

$$-3y-12=3$$

Գումարեք 12 հավասարման երկու կողմին:

$$-3y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով x=-3y-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -5:

$$x=15-6$$

Գումարեք -6 15-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=-5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

-x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Պարզեցնել:

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Հանեք -2x-3y=-3 -2x-6y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y+3y=12+3$$

Գումարեք -6y 3y-ին:

$$-3y=12+3$$

Գումարեք 12 3-ին:

$$-3y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=-5$$

Փոխարինեք -5-ը y-ով 2x+3y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -5:

$$2x-15=3$$

Գումարեք 15 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-5$$