Լուծեք {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-2y=-7$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=2y-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(2y-7\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ 2y-7:

$$x=-2y+7$$

Փոխարինեք -2y+7-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+2y=16:

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -2y+7:

$$-4y+14+2y=16$$

Գումարեք -4y 2y-ին:

$$-2y+14=16$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-2y+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -1:

$$x=2+7$$

Գումարեք 7 2-ին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

-x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

Պարզեցնել:

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

Հանեք -2x-2y=-16 -2x-4y=-14-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y+2y=-14+16$$

Գումարեք -4y 2y-ին:

$$-2y=-14+16$$

Գումարեք -14 16-ին:

$$-2y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 2x+2y=16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$2x-2=16$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=-1$$