Լուծեք {l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-8$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x-2y=-10$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$-x=2y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(2y-10\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -10+2y:

$$x=-2y+10$$

Փոխարինեք -2y+10-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x-8y=-16:

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

Բազմապատկեք -7 անգամ -2y+10:

$$14y-70-8y=-16$$

Գումարեք 14y -8y-ին:

$$6y-70=-16$$

Գումարեք 70 հավասարման երկու կողմին:

$$6y=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=-2y+10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times 9+10$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 9:

$$x=-18+10$$

Գումարեք 10 -18-ին:

$$x=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-8,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-8,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

-x-ը և -7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

Պարզեցնել:

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

Հանեք 7x+8y=16 7x+14y=70-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

Գումարեք 7x -7x-ին: 7x-ը և -7x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y-8y=70-16$$

Գումարեք 14y -8y-ին:

$$6y=70-16$$

Գումարեք 70 -16-ին:

$$6y=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով -7x-8y=-16-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-7x-8\times 9=-16$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 9:

$$-7x-72=-16$$

Գումարեք 72 հավասարման երկու կողմին:

$$-7x=56$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=-8$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-8,y=9$$