Լուծեք {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$2y-9x=9$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-x+y=2$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-y+2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=-\left(-y+2\right)$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -y+2:

$$x=y-2$$

Փոխարինեք y-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+2y=9:

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

Բազմապատկեք -9 անգամ y-2:

$$-9y+18+2y=9$$

Գումարեք -9y 2y-ին:

$$-7y+18=9$$

Հանեք 18 հավասարման երկու կողմից:

$$-7y=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{9}{7}$$

Փոխարինեք \frac{9}{7}-ը y-ով x=y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Գումարեք -2 \frac{9}{7}-ին:

$$x=-\frac{5}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$2y-9x=9$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 9x երկու կողմերից:

$$2y-9x=9$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

-x-ը և -9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -1-ով:

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Պարզեցնել:

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

Հանեք 9x-2y=-9 9x-9y=-18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Գումարեք 9x -9x-ին: 9x-ը և -9x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-9y+2y=-18+9$$

Գումարեք -9y 2y-ին:

$$-7y=-18+9$$

Գումարեք -18 9-ին:

$$-7y=-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$y=\frac{9}{7}$$

Փոխարինեք \frac{9}{7}-ը y-ով -9x+2y=9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{9}{7}:

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

Հանեք \frac{18}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-9x=\frac{45}{7}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=-\frac{5}{7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$