Լուծեք {l}{-9y=13x+81}{1/9y=1+5/81x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 y = 13 x + 81 } \\ { \frac { 1 } { 9 } y = 1 + \frac { 5 } { 81 } x } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-9$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 13x երկու կողմերից:

$$-9y-13x=81$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{5}{81}x երկու կողմերից:

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-9y-13x=81$$

Գումարեք 13x հավասարման երկու կողմին:

$$-9y=13x+81$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=-\frac{1}{9}\left(13x+81\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{9} անգամ 13x+81:

$$y=-\frac{13}{9}x-9$$

Փոխարինեք -\frac{13x}{9}-9-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1:

$$\frac{1}{9}\left(-\frac{13}{9}x-9\right)-\frac{5}{81}x=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{9} անգամ -\frac{13x}{9}-9:

$$-\frac{13}{81}x-1-\frac{5}{81}x=1$$

Գումարեք -\frac{13x}{81} -\frac{5x}{81}-ին:

$$-\frac{2}{9}x-1=1$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{2}{9}x=2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{2}{9}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-9$$

Փոխարինեք -9-ը x-ով y=-\frac{13}{9}x-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=-\frac{13}{9}\left(-9\right)-9$$

Բազմապատկեք -\frac{13}{9} անգամ -9:

$$y=13-9$$

Գումարեք -9 13-ին:

$$y=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 13x երկու կողմերից:

$$-9y-13x=81$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{5}{81}x երկու կողմերից:

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{81}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{-13}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\\-\frac{\frac{1}{9}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{9}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}&\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}\times 81+\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}\times 81-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=4,x=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 13x երկու կողմերից:

$$-9y-13x=81$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք \frac{5}{81}x երկու կողմերից:

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

-9y-ը և \frac{y}{9}-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները \frac{1}{9}-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -9-ով:

$$\frac{1}{9}\left(-9\right)y+\frac{1}{9}\left(-13\right)x=\frac{1}{9}\times 81,-9\times \frac{1}{9}y-9\left(-\frac{5}{81}\right)x=-9$$

Պարզեցնել:

$$-y-\frac{13}{9}x=9,-y+\frac{5}{9}x=-9$$

Հանեք -y+\frac{5}{9}x=-9 -y-\frac{13}{9}x=9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-y+y-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

Գումարեք -y y-ին: -y-ը և y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

Գումարեք -\frac{13x}{9} -\frac{5x}{9}-ին:

$$-2x=9+9$$

Գումարեք 9 9-ին:

$$-2x=18$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-9$$

Փոխարինեք -9-ը x-ով \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}\left(-9\right)=1$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{81} անգամ -9:

$$\frac{1}{9}y+\frac{5}{9}=1$$

Հանեք \frac{5}{9} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{9}y=\frac{4}{9}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 9-ով:

$$y=4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=4,x=-9$$