Լուծեք {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-9x+6y=13$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$-9x=-6y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{9} անգամ -6y+13:

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ cx+8y=-12:

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Բազմապատկեք c անգամ \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}:

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Գումարեք \frac{2cy}{3} 8y-ին:

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Գումարեք \frac{13c}{9} հավասարման երկու կողմին:

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը \frac{2c}{3}+8-ի:

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Փոխարինեք \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}:

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Գումարեք -\frac{13}{9} \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}-ին:

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x-ը և cx-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները c-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -9-ով:

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Պարզեցնել:

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Հանեք \left(-9c\right)x-72y=108 \left(-9c\right)x+6cy=13c-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Գումարեք -9cx 9cx-ին: -9cx-ը և 9cx-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6cy+72y=13c-108$$

Գումարեք 6cy 72y-ին:

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Բաժանեք երկու կողմերը 72+6c-ի:

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Փոխարինեք \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-ը y-ով cx+8y=-12-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Բազմապատկեք 8 անգամ \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}:

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Հանեք \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} հավասարման երկու կողմից:

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը c-ի:

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$