Լուծեք {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x+7y=13$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$-8x=-7y+13$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ -7y+13:

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Փոխարինեք \frac{7y-13}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x-9y=-20:

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

Բազմապատկեք 7 անգամ \frac{7y-13}{8}:

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

Գումարեք \frac{49y}{8} -9y-ին:

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Գումարեք \frac{91}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{23}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{8} անգամ 3:

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Գումարեք -\frac{13}{8} \frac{21}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -8-ով:

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Պարզեցնել:

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Հանեք -56x+72y=160 -56x+49y=91-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

Գումարեք -56x 56x-ին: -56x-ը և 56x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$49y-72y=91-160$$

Գումարեք 49y -72y-ին:

$$-23y=91-160$$

Գումարեք 91 -160-ին:

$$-23y=-69$$

Բաժանեք երկու կողմերը -23-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով 7x-9y=-20-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x-9\times 3=-20$$

Բազմապատկեք -9 անգամ 3:

$$7x-27=-20$$

Գումարեք 27 հավասարման երկու կողմին:

$$7x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$