Լուծեք {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-8x+7y=-9$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$-8x=-7y-9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -8-ի:

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{8} անգամ -7y-9:

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

Փոխարինեք \frac{7y+9}{8}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -9x+7y=-18:

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

Բազմապատկեք -9 անգամ \frac{7y+9}{8}:

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

Գումարեք -\frac{63y}{8} 7y-ին:

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

Գումարեք \frac{81}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{8}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=9$$

Փոխարինեք 9-ը y-ով x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

Բազմապատկեք \frac{7}{8} անգամ 9:

$$x=\frac{63+9}{8}$$

Գումարեք \frac{9}{8} \frac{63}{8}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Հանեք -9x+7y=-18 -8x+7y=-9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

Գումարեք 7y -7y-ին: 7y-ը և -7y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8x+9x=-9+18$$

Գումարեք -8x 9x-ին:

$$x=-9+18$$

Գումարեք -9 18-ին:

$$x=9$$

Փոխարինեք 9-ը x-ով -9x+7y=-18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-9\times 9+7y=-18$$

Բազմապատկեք -9 անգամ 9:

$$-81+7y=-18$$

Գումարեք 81 հավասարման երկու կողմին:

$$7y=63$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=9$$